Düzlem Geometrinin Temel Kavramları - MATEMATİĞİN TEMELLERİ II

 

Euclid Aksiyomları

Aksiyom 1: Farklı iki noktayı üzerinde barındıran bir tek doğru vardır. Bu aksiyomu, farklı iki noktadan bir doğru geçer şeklinde ifade etmekte mümkündür.

Aksiyom 2: Her doğru üzerinde en az iki nokta ve dışında en az bir nokta vardır.

Aksiyom 3: Düzlemde bir doğru ve dışında bir nokta verildiğinde, verilen noktadan geçen ve verilen doğruya paralel olan bir tek doğru vardır. Bunu biraz açalım. Düzlemde bir N noktası ile bir d doğrusu verilsin. N noktası d doğrusu üzerinde değildir. Bu durumda N noktasından geçen ve d//c olacak şekilde bir tek c doğrusu çizebiliriz.

Her postulat bir aksiyomdur.

Aksiyom postulatı kapsar.

İspatlanırsa teorem olur.

ÖKLİD AKSİYOMLARI

A1 AKSİYOMU:

"Farklı iki noktadan geçen tek bir doğru vardır"

Bu aksiyom 2 noktada çakışan sonsuz doğru vardır neden bir tane denmiş diye düşünüyorsak.Düşünce şeklimizi şu şekilde değiştirilelim:

Çakışık doğrular aynı doğrudur 2 tane farklı doğru yoktur hepsi birbirine eştir.

Sonsuz tane adlandırsakta tek bir doğru var.

Nasıl soyut matematikte 1/2=2/4=3/6 hepsi aynı denklik sınıfında olduğu için birinin yerine diğeri kullanılabiliyorsa çakışık doğrularda denktir.

Benim yorumum: Aynadaki yansımamızda aslında biziz.

A2 AKSİYOMU

Her doğru üzerinde en az iki nokta ve dışında en az bir nokta vardır.

*Sonsuz nokta olması teoremdir.

*Aksiyomlarda basit ifade edilir.

Doğrudaş : Aynı doğru üzerindeki noktalar.

Aynı düzlemde farklı iki doğru:D1 VE D2

Düzlemde ortak noktaları yoksa paraleller.

Çelişki yöntemi:

D1 ve D2 aslında farklı.

A1:1.AKSİYOM

SONUÇ D1 VE D2nin en az iki ortak noktası olamaz.

Ya paralel ya kesişiyor.
ÖKLİD GEOMETRİSİ AKSİYOMATİK YAPIDADIR.

Nokta ve doğru çizilemez bu nedenle çizerek ispat yapılmaz.

 Düzlemde paralel olmayan farklı iki doğru tek bir noktada kesişir.

Paralelseler hiç ortak noktaları yok.

Paralel olmadıklarına göre en az bir ortak noktaları olmalı,olmazsa çelişki olur.

Teorem üçte aynı veya farklı doğrular dememiş. Öncelikle aynı doğrulara bakalım:

Aynı doğrulara çakışık doğrular denir.

Çakışık doğrularda paraleldir. 

Aslında her doğru kendisine paraleldir.

Uzaklığın 0 olması paralelliği ortadan kaldırmaz. Özel bir durumdur.

Şimdide farklı doğrulara bakalım . (önemli kısım burası)

d3ün d2yi kestiğini nasıl ispatlarız? çelişki yöntemini kullanırız.

Bir doğruya paralel tek bir doğru çizilebilir.

Dikey çizgi testi ile fonksiyon grafiği olup olmadığı anlaşılabilir.

 Bu fonksiyon değil

Adım adım elimizdeki noktalar ve aksiyomlarla başka noktalarda olduğunu gösterme:

Aksiyom 4: A, B, C birbirinden farklı fakat doğrusal noktalar ve B noktası A ile C arasında ise, B aynı zamanda C ile A arasındadır.

Aksiyom 5: A ve C birbirinden farklı iki nokta ise, A ile C arasında en az bir B noktası; C de A ile D arasında olacak şekilde en az bir D noktası vardır.

Aksiyom 6: Farklı ve doğrusal üç noktadan yalnız birisi, öteki ikisinin arasındadır.

Aksiyom 7: A, B, C ve D farklı ve doğrusal noktalar olmak üzere; – B, A ile C ve A ile D arasında, – C, A ile D ve B ile D arasında, olacak şekilde aynı doğru üzerine yerleştirilebilirler. Bunlara ek olarak bir de şu aksiyomu verelim:

Aksiyom 8 (Pash Aksiyomu): A, B, C doğrusal olmayan farklı üç nokta ve d, bunları içinde bulunduran düzlemde bir doğru olsun. Eğer d doğrusu A, B ve C'nin hiçbirinden geçmiyorsa ve [AB], [BC] ve [AC] doğru parçalarından birini kesiyorsa, öteki ikisinden birini de keser. Burada söylenenleri bir kağıda çizerek kendiniz görebilirsiniz.

Temel aksiyomlar bunlardır.

Diziliş ve sıralanış önemli.

** BURASI ÖNEMLİ A5 Kullanılarak 2 Teorem üretilmiştir. (Bunlara bak)